Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P(2，-2)在二次函數y=x2+mx+n(m＞0)的圖象上．

(1)若m-n=3，求m、n的值．

(2)若該二次函數的圖象與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B，則OA=OB成立嗎？請說明理由．

(3)若該二次函數圖象向左平移k個單位，再向上平移4m個單位，所得函數圖象仍經過點P，當k≥-2時，求所得函數圖象的頂點縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)m=-1，n=-4；(2)不成立；(3)2＜-(m+4)2+2＜1.

【解析】

(1)把點P(2，-2)代入y=x2+mx+n，得2m+n=-6，結合m-n=3即可求解；

(2)由OA=OB，得m=±2n，結合(1)中2m+n=-6，求解m 的值；

(3)平移后的函數解析式為y=(x+k)2+m(x+k)-2m-2，P(2，-2)在圖象上，得到k(k+4+2m)=0分k=0和k≠0討論得到0＜m＜-2，函數頂點縱坐標為 (m+4)2+2，結合m的取值范圍確定縱坐標取值范圍；

解：(1)把點P(2，-2)代入y=x2+mx+n得，

-2=4+2m+n，2m+n=-6

當m-n=3時，解得：m=-1，n=-4；

(2)令x=0，則y=n，∴A(0，n)，∴OA=±n，

函數的對稱軸為x=-m，OB=，

OA=OB，則：m=±2n，

∵2m+n=-6，

∴當m=2n時，m=-(舍去)；

當m=-2n時，m=-4(舍去)

故不成立；

(3)平移后的函數解析式為y=(x+k)2+m(x+k)+n+4

=(x+k)2+m(x+k)-6-2m+4

=(x+k)2+m(x+k)-2m-2，

∵P(2，-2)在圖象上，

∴k(k+4+2m)=0

當k=0時，m=-2(舍去)；

當k≠0時，k=-4-2m，

∵k≥-2，

∴m＜-2，

∴0＜m＜-2，

∵函數頂點縱坐標為=-(m+4)2+2，

∴-2＜-(m+4)2+2＜1.