Question

【題目】已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA，EC．

（1）如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；

（2）如圖2，若點P在線段AB的中點，連接AC，判斷△ACE的形狀，并說明理由；

（3）如圖3，若點P在線段AB上，連接AC，當EP平分∠AEC時，設AB=m，BP=n，求m：n的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ACE是直角三角形，理由見解析；（3）m：n= ：1．

【解析】

（1）根據正方形的性質證明△APE≌△CFE，可得結論；
（2）分別證明∠PAE=45°和∠BAC=45°，則∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
（3）設CE交AB于G，先表示出AP=PG=m-n，BG=m-（2m-2n）=2n-m，再由，即可得出結論．

（1）∵四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形，

∴AB=BC，BP=BF，

∴AP=CF，

在△APE和△CFE中，

，

∴△APE≌△CFE，

∴EA=EC；

（2）△ACE是直角三角形，理由是：

如圖2，∵P為AB的中點，

∴PA=PB，

∵PB=PE，

∴PA=PE，

∴∠PAE=45°，

又∵∠BAC=45°，

∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

（3）解，設CE交AB于G，

∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，

∴AP=PG=m-n，BG=m-（2m-2n）=2n-m，

∵PE∥CF，

∴，

即 ，

解得：m= n，

∴m：n= ：1．

故答案為：（1）見解析；（2）△ACE是直角三角形，理由見解析；（3）m：n= ：1．