Question

【題目】如圖，已知⊙O半徑為3，直徑AB垂直弦CD于E，過點A作∠DAF=∠DAB，過點D作AF的垂線，垂足為點F，交AB的延長線于點P，連接CO并延長與圓交于點G，連接EG．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若AD=DP，求的長度；

（3）若tanC，求線段EG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）EG=

【解析】

（1）連接OD，如圖1，先證明∠ADO＝∠DAF得到OD∥AF，然后根據平行線的性質判斷DF⊥OD，然后根據切線的判定定理得到結論；
（2）先證明∠P＝∠DAF＝∠DAB，然后根據三角形內角和計算出∠P＝30°，從而得到∠POD＝60°，然后根據弧長公式計算；

（3）如圖，連接GD，根據tanC，設GD=，CD=，由勾股定理列出方程求出GD 與CD，再由垂徑定理得出DE，在Rt△GED中，利用勾股定理即可求出EG的長度．

（1）證明：連接OD，如圖1，

∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∵∠DAF＝∠DAB，
∴∠ADO＝∠DAF，
∴OD∥AF，
又∵DF⊥AF，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切線；

（2）∵AD＝DP
∴∠P＝∠DAF＝∠DAB，
而∠P＋∠DAF＋∠DAB＝90°，
∴∠P＝30°，
∴∠POD＝60°，

又∵半徑為3，

∴的長度，

（3）如圖，連接GD，

∵CG是直徑，半徑為3，

∴∠CDG=90°，CG=6，

∵tanC，即

∴設GD=，CD=（a＞0）

在Rt△CGD中，由勾股定理可得：，

即，解得：或a=-2（舍去）

∴GD=4，CD=，

又∵AB⊥CD，

∴DE=CE=

在Rt△GED中，EG=，

∴EG=．