Question

【題目】如圖，O為Rt△ABC斜邊中點，AB=10，BC=6，M，N在AC邊上，∠MON=∠B，若△OMN與△OBC相似，則CM=_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分兩種情形分別求解：①如圖1中，當∠MON=∠OMN時．②如圖2中，當∠MON=∠ONM時．

解：∵∠ACB=90°，AO=OB，
∴OC=OA=OB，
∴∠B=∠OCB，
∵∠MON=∠B，若△OMN與△OBC相似，
∴有兩種情形：①如圖1中，當∠MON=∠OMN時，

∵∠OMN=∠B，∠OMC+∠OMN=180°，
∴∠OMC+∠B=180°，
∴∠MOB+∠BCM=90°，
∴∠MOB=90°，
∵∠AOM=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOM∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴AM=，
∴CM=AC-AM=8-=．

②如圖2中，當∠MON=∠ONM時，

∵∠BOC=∠OMN，
∴∠A+∠ACO=∠ACO+∠MOC，
∴∠MOC=∠A，
∵∠MCO=∠ACO，
∴△OCM∽△ACO，
∴OC2=CMCA，
∴25=CM8，
∴CM=，
故答案為:或．