Question

【題目】對于平面直角坐標系中的點和（半徑為），給出如下定義：若點關于點的對稱點為，且，則稱點為的稱心點．

（1）當的半徑為2時，

①如圖1，在點，，中，的稱心點是 ；

②如圖2，點在直線上，若點是的稱心點，求點的橫坐標的取值范圍；

（2）的圓心為，半徑為2，直線與軸，軸分別交于點，．若線段上的所有點都是的稱心點，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，，②或；（2）或

【解析】

（1）①先求出點A，B，C關于點O的對稱點A'，B'，C'進而求出AA'，BB'，CC'，再判斷即可得出結論；②先求出點D的坐標，再利用新定義建立不等式求解即可得出結論；

（2）先求出點E，F坐標，進而求出∠EFO=60°，進而找出y軸上到線段EF的距離為2時的位置，再分情況利用新定義，即可得出結論．

解：（1）解：（1）①∵A（0，1），

∴點A關于點O的對稱點為A'（0，-1），

∴AA'=1-（-1）=2，

∵⊙O的半徑為2，

∴點A是⊙O的稱心點，

∵B（2，0），

∴點B關于點O的對稱點為B'（-2，0），

∴BB'=2-（-2）=4，

∵⊙O的半徑為2，

∴2＜BB'＜6，

∴點B是⊙O的稱心點，

∵C（3，4），

∴點C關于點O的對稱點為C'（-3，-4），

∴，

∴點C不是的稱心點，

故答案為：點A，B；

②如圖，設直線與以為圓心，半徑為1和3的兩個圓的交點從右至左依次為，，，，過點作軸于點,

∵，，

∴，

∴點的橫坐標為,

同理可求得點，，的橫坐標分別為，，．

∴點的橫坐標的取值范圍是，或．

（2）如圖，

在直線中，

當x=0時，y=1，

∴F（0，1），OF=1，

當時，，

∴E（-，0），OE=，

在Rt△EOF中，，

∴，

過y軸上一點H作直線EF的垂線交線段EF于G，

∵線段EF上的所有點都是⊙T的稱心點，且⊙T的半徑為2，

∴最小值為1，

在中，，

∴，

∴，

當點T從H向下移動時，GH，FH，EH越來越長，直到點G和E重合，HF取最大值，

∵線段EF上的所有點都是⊙T的稱心點，

∴FH=1-t≤3，

∴t≥-2，EH≤3，

∴，

∴，

∴，

當點T從點H向上移動時，點T在FH上時，T到EF的距離小于2，此種情況不符合題意，

當點T從點F向上移動時，ET≥EF，

即：ET≥2，

∵線段EF上的所有點都是⊙T的稱心點，

∴FH≥1，EH≤3，

∴，，

∴，

故：的取值范圍是，或．