Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，四邊形是正方形，點為正方形對角線的交點，點，點，點.分別延長到，到，使，，再以，為鄰邊作平行四邊形.

（Ⅰ）求點的坐標；

（Ⅱ）如圖②，將四邊形繞點逆時針旋轉得四邊形，點，，旋轉后的對應點分別為，，，旋轉角為.

①旋轉過程中，當時，求點的坐標；

②在旋轉過程中，求的取值范圍（直接寫出結果即可）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①或，②

【解析】

（Ⅰ）過作軸于H，根據四邊形是正方形和A、B兩點的坐標的得出正方形的邊長為2，再根據正方形的性質得出OP=PC=，結合已知條件利用三角函數得出OH和DH的長即可.

（Ⅱ）①當時，分旋轉角=和進行討論，都是過作的垂線，垂足記作，利用等腰三角形的性質和三角函數求得的長，從而確定點的坐標；

②先根據正方形的判定，結合已知條件證出四邊形是正方形，求出對角線PE=4,從而得出點的運動軌跡是在以B為圓心，4為半徑的圓，繼而求出的取值范圍；

解：

（Ⅰ）過作軸，垂足記作，

∵四邊形是正方形，，點，點.

∴正方形的邊長為，

∴，∴

∵=，∴

在等腰中，.

∴點的坐標為

（Ⅱ）①過點作的垂線，由點落在垂線上.

在中，

∵，∴.

∴.

∴旋轉角或

當時，

在中，

過作的垂線，垂足記作.

∵，，

∴.

在中，.

∴點的坐標為

當時，

在中，∵，∴.

∵，，∴.

在中，.

∴點的坐標為.

綜上所述，當時點的坐標為或

②∵四邊形平行四邊形,AB⊥OC

∴平行四邊形是矩形；

∵，，PC=PA,

∴PD=PF，∴矩形是正方形；

∴PE=4

∴點在以B為圓心，4為半徑的圓上運動；

∴；

∴的取值范圍: