Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，動點Q從點A出發，以每秒1個單位的速度，沿AB向點B移動；同時點P從點B出發，仍以每秒1個單位的速度，沿BC向點C移動，連接QP，QD，PD．若兩個點同時運動的時間為x秒（0＜x≤3），解答下列問題：

（1）設△QPD的面積為S，用含x的函數關系式表示S；當x為何值時，S有最大值？并求出最小值；

（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）S=（x﹣2）2+4；x=2，最小值為4；（2）存在，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，從而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面積，則可表示出S，再利用二次函數的增減性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；（2）用x表示出BQ、BP、PC，當QP⊥DP時，可證明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性質可得到關于x的方程，可求得x的值．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為矩形， ∴BC=AD=4，CD=AB=3， 當運動x秒時，則AQ=x，BP=x，

∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x，

∴S△ADQ=ADAQ=×4x=2x，S△BPQ=BQBP=（3﹣x）x=x﹣x2，S△PCD=PCCD=（4﹣x）3=6﹣x，

又S矩形ABCD=ABBC=3×4=12，

∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（x﹣x2）﹣（6﹣x）=x2﹣2x+6=（x﹣2）2+4，

即S=（x﹣2）2+4， ∴S為開口向上的二次函數，且對稱軸為x=2，

∴當0＜x＜2時，S隨x的增大而減小，當2＜x≤3時，S隨x的增大而增大，

又當x=0時，S=5，當S=3時，S=，但x的范圍內取不到x=0，

∴S不存在最大值，當x=2時，S有最小值，最小值為4；

（2）存在，理由如下：

由（1）可知BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x， 當QP⊥DP時，則∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC，

∴∠PQ=∠PDC，且∠B=∠C， ∴△BPQ∽△PCD，

∴=，即=，解得x=（舍去）或x=，

∴當x=時QP⊥DP．