Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C

的路徑運動，且速度為每秒1cm，設出發的時間為t秒．

（1）出發2秒后，求△ABP的周長．

（2）當t為幾秒時，BP平分∠ABC

（3）問t為何值時，△BCP為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）16+2;（2）3;（3）6s或13s或12s或 10.8s.

【解析】分析：（1）利用勾股定理得出AC=8cm，進而表示出AP的長，由勾股定理求出PB，進而得出答案；（2）過點P作PD⊥AB于點D，由HL證明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，因此BD=10-6=4cm，設PC=x cm，則PA=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）利用分類討論的思想和等腰三角形的特點及三角形的面積求出答案．

本題解析：

(1)∵∠C=90，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，動點P從點C開始，按的路徑運動，且速度為每秒1cm

∴出發2秒后，則CP=2cm，那么AP=6cm.

∵∠C=90°，

∴由勾股定理得PB=2cm

∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=6+10+2=(16+2)cm；

(2)如圖2所示，過點P作PD⊥AB于點D，

∵BP平分∠ABC,∴PD=PC.

在Rt△BPD與Rt△BPC中, ，

∴Rt△BPD≌Rt△BPC(HL)，

∴BD=BC=6 cm，

∴AD=106=4 cm.

設PC=x cm,則PA=(8x)cm

在Rt△APD中,PD+AD=PA，

即x+4=(8x)，

解得：x=3，

∴當t=3秒時，AP平分∠CAB；

(3)若P在邊AC上時，BC=CP=6cm，

此時用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；

若P在AB邊上時，有兩種情況：

①若使BP=CB=6cm，此時AP=4cm，P運動的路程為12cm，

所以用的時間為12s，故t=12s時△BCP為等腰三角形；

②若CP=BC=6cm，過C作斜邊AB的高，根據面積法求得高為4.8cm，

根據勾股定理求得BP=7.2cm，

所以P運動的路程為187.2=10.8cm，

∴t的時間為10.8s，△BCP為等腰三角形；

③若BP=CP時，則∠PCB=∠PBC，

∵∠ACP+∠BCP=90°,∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC

∴PA=PB=5cm

∴P的路程為13cm，所以時間為13s時，△BCP為等腰三角形。

∴t=6s或13s或12s或 10.8s 時△BCP為等腰三角形。