Question

二次函數y=x²+bx+c的圖象如圖所示，其頂點坐標為M（1，-4）．
（1）求二次函數的解析式；
（2）將二次函數的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結合新圖象回答：當直線y=x+n與這個新圖象有兩個公共點時，求n的取值范圍．

Answer 1

（1）因為M（1，-4）是二次函數y=（x+m）²+k的頂點坐標，
所以y=（x-1）²-4=x²-2x-3，

（2）令x²-2x-3=0，
解之得：x₁=-1，x₂=3，
故A，B兩點的坐標分別為A（-1，0），B（3，0）．
如圖，當直線y=x+n（n＜1），
經過A點時，可得n=1，
當直線y=x+n經過B點時，
可得n=-3，
∴n的取值范圍為-3＜n＜1，
翻折后的二次函數解析式為二次函數y=-x²+2x+3
當直線y=x+n與二次函數y=-x²+2x+3的圖象只有一個交點時，
x+n=-x²+2x+3，
整理得：x²-x+n-3=0，
△=b²-4ac=1-4（n-3）=13-4n=0，
解得：n=

13

4

，
∴n的取值范圍為：n＞

13

4

，
由圖可知，符合題意的n的取值范圍為：n＞

13

4

或-3＜n＜1．