Question

如圖，拋物線y=ax²+bx（a＞0）與雙曲線y=

k

x

相交于點A，B．已知點A的坐標為（1，4），點B在第三象限內，連結AB交y軸于點E，且S△BOE=

2

3

S△AOB（O為坐標原點）．
（1）求此拋物線的函數關系式；
（2）過點A作直線平行于x軸交拋物線于另一點C．問在y軸上是否存在點P，使△POC與△OBE相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請簡要說明理由；
（3）拋物線與x軸的負半軸交于點D，過點B作直線l∥y軸，點Q在直線l上運動，且點Q的縱坐標為t，試探索：當S_△AOB＜S_△QOD＜S_△BOC時，求t的取值范圍．

Answer 1

（1）點A（1，4）在雙曲線y=

k

x

上，得k=4
∵S_△BOE=

2

3

S_△AOB，
∴|x_A|：|x_B|=1：2
∴x_B=-2，
∵點B在雙曲線y=

k

x

上，
∴點B的坐標為（-2，-2）
∵點A，B都在y=ax²+bx（a＞0）上，
∴

a+b=4 4a-2b=-2

解得：

a=1 b=3

所求的二次函數的解析式為：y=x²+3x；

（2）∵點C坐標為（-4，4），若點P在y軸的正半軸，則∠POC=45°，不符合題意．
所以點P在y軸的負半軸上，則∠POC=45°
此時有∠POC=∠BOE=135°，
所以

OP

OC

=

OE

OB

或

OP

OC

=

OB

OE

時，
△POC與△OBE相似
∴OP=4或8．
所以點P的坐標為（0，-4）或（0，-8）；

（3）設點Q的坐標為（-2，t）
∵直線AB經過點A（1，4），B（-2，-2）
∴直線AB的函數關系式為y=2x+2
∴E（0，2）
由y=x²+3x可知點D（-3，0）．
∵S_△AOB=3，S_△QOD=

3

2

|t|，S_△BOC=8
∴3＜

3

2

|t|＜8
當t≥0時，2＜t＜

16

3

當t＜0時，-

16

3

＜t＜-2
綜上：2＜t＜

16

3

或-

16

3

＜t＜-2