Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（4，0），C為第一象限內一點，AC⊥y軸，BC⊥x軸，D坐標為（m，0）（0＜m＜4）．

（1）若D為OB的中點，求直線DC的解析式；

（2）若△ACD為等腰三角形，求m的值；

（3）E為四邊形OACB的某一邊上一點．

①若E在邊BC上，滿足△AOD≌△DBE，求m的值；

②若使△EOD為等腰三角形的點E有且只有4個，直接寫出符合條件的m的值．

Answer 1

【答案】（1） y=x﹣3；（2）2或或4-；（3）①1；②4或

【解析】

（1）求出C、D兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題；

（2）分三種情形討論求解即可；

（3）①利用全等三角形的性質可知OA=BD=3；

②當m=3或時，使△EOD為等腰三角形的點E有且只有4個.

（1）∵A（0，3），B（4，0），四邊形AOBC是矩形，

∴OA=BC=3，OB=AC=4，

∴C（4，3），

∵點D為OB中點，

∴D（2，0），

設直線CD的解析式為y=kx+b，則有，

解得，

∴直線CD的解析式為y=x﹣3．

（2）①當DA=DC時，D（2，0）．

②當AD=AC=4時，在Rt△AOD中，OD=，

∴D（，0）．

③當CD=AC時，在Rt△BCD中，BD=，

∴D（4﹣，0）．

（3）①∵△AOD≌△DBE，

∴DB=OA=3，

∴OD=OB﹣BD=1，

∴m=1．

②如圖1中，當m=3時，使△EOD為等腰三角形的點E有且只有4個；

如圖2中，當E與C重合時，OD=DC=m，

在Rt△CDB中，∵CD2=BD2+BC2，

∴m2=（4﹣m）2+32，'

∴m=．此時使△EOD為等腰三角形的點E有且只有4個.