Question

【題目】如圖，在中，，，，點分別是邊的中點，連接．將繞點順時針方向旋轉，記旋轉角為．

① ②

③ ④

（1）問題發現：當時， ．

（2）拓展探究：試判斷：當時，的大小有無變化？請僅就圖②的情況給出證明．

（3）問題解決：當旋轉至三點共線時，如圖③，圖④，直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）無變化，理由見解析；（3）圖③中；圖④中；

【解析】

（1）問題發現：由勾股定理可求AC的長，由中點的性質可求AE，BD的長，即可求解；

（2）拓展探究：通過證明△ACE∽△BCD，可得；

（3）問題解決：由三角形中位線定理可求DE=1，∠EDC=∠B=90°，由勾股定理可求AD的長，即可求AE的長．

解：（1）問題發現：

∵∠B=90°，AB=2，BC=6，

∴AC=，

∵點D，E分別是邊BC，AC的中點，

∴AE=EC=，BD=CD=3，

∴，

故答案為：；

（2）無變化；證明如下：

∵點，分別是邊，的中點，

∴由旋轉的性質，，，

∵，，

∴，

∴，

∴；

（3）如圖③，

∵點D，E分別是邊BC，AC的中點，

∴DE=AB=1，DE∥AB，

∴∠CDE=∠B=90°，

∵將△EDC繞點C順時針方向旋轉，

∴∠CDE=90°=∠ADC，

∴AD=，

∴AE=AD+DE=；

如圖④，

由上述可知：AD=，

∴；