Question

6．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于點D，∠DCB=∠B．若AC=10，AB=25，求CD的長．

Answer 1

分析 如圖，延長CD交AB于點E，構建全等三角形：△ADE≌△ADC（ASA）．由全等三角形的對應邊相等推知AE=AC=10，DE=DC；根據BE=CE，AB=25，得出AB=AE+BE=10+2DC=25，即可求得DC=7.5．

解答 解：如圖，延長CD交AB于點E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°．
∵在△ADE與△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AD=AD}\\{∠ADE=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADC（ASA）．
∴AE=AC=10，DE=DC． 
∵∠DCB=∠B，
∴BE=CE=2DC．
∴AB=AE+BE=10+2DC=25．
∴DC=7.5．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質．注意此題中輔助線的作法．