Question

【題目】（10分）如圖，已知⊙O上依次有A、B、C、D四個點，=，連接AB、AD、BD，弦AB不經過圓心O，延長AB到E，使BE=AB，連接EC，F是EC的中點，連接BF．

（1）求證：BF=BD；

（2）設G是BD的中點，探索：在⊙O上是否存在點P（不同于點B），使得PG=PF？并說明PB與AE的位置關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，作圖略；PG=PF．

【解析】試題分析：（1）利用三角形中位線定理得出BF=AC，再利用圓心角定理得出=，進而得出BF=BD；

（2）首先過點B作AE的垂線，與⊙O的交點即為所求的點P，得出BP⊥AE，進而證明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF．

試題解析：（10分）

（1）證明：連接AC，

∵AB=BE，∴點B為AE的中點，

∵F是EC的中點，∴BF為△EAC的中位線，∴BF=AC，

∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；

（2）解：過點B作AE的垂線，與⊙O的交點即為所求的點P，

∵BF為△EAC的中位線，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，

∵=，∴∠CAB=∠DBA，

∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，

∵G為BD的中點，∴BG=BD，∴BG=BF，

在△PBG和△PBF中，

，

∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．