Question

（附加題）工人師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長60cm的正方形板材；另一塊是上底為30cm，下底為120cm，高為60cm的直角梯形板材（如下圖①）．工人師傅想將這兩塊板材裁成兩塊全等的矩形板材，他將兩塊板材疊放在一起，使梯形的兩個直角頂點分別與正方形的兩個頂點重合，兩塊板材的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區域（如圖②）．由于受材料紋理限制，要求裁出的矩形要以點B為一個頂點．
（1）利用圖②，求FC的長；
（2）如圖③，若矩形的一個頂點P在線段EF上，P點到BG的距離為PN，試證明：

PN

NG

=

2

3

；
（3）利用圖③，求頂點B所對的頂點P到BC的距離PN為多少時，矩形PMBN的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

（1）根據題意，ED=60-30=30cm，CG=120-60=60cm，
∵正方形的對邊平行，
∴AD∥BG，
∴

DF

FC

=

ED

CG

，
即

DF

FC

=

30

60

=

1

2

，
又∵CD=60cm，
∴FC=

2

1+2

×60=40cm；

（2）證明：∵P點到BG的距離為PN，
∴PN⊥BC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
∴△GCF∽△GPN，
∴

PN

NG

=

FC

CG

，
即

PN

NG

=

40

60

=

2

3

；

（3）設BN為x，則NG=120-x，
根據（2）可得，PN=

2

3

NG=

2

3

（120-x），
∴矩形PMBN的面積=BN•PN=x•

2

3

（120-x）=-

2

3

（x²-120x）=-

2

3

（x-60）²+2400，
∴當x=60時，矩形PMBN的面積最大，
此時PN=

2

3

（120-x）=

2

3

（120-60）=40cm，
最大面積值是2400cm²．