Question

已知如圖在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥BD交CB的延長線于G.
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結論。

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵點E、F分別是AB、CD的中點，
∴AE=AB，CF=CD．
∴AE=CF．
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：當四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四邊形AGBD是平行四邊形．
∵四邊形BEDF是菱形，
∴DE=BE．
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°．
∴∠2+∠3=90°．
即∠ADB=90°．
∴四邊形AGBD是矩形．

（1）在證明全等時常根據已知條件，分析還缺什么條件，然后用（SAS，ASA，SSS）來證明全等；
（2）先由菱形的性質得出AE=BE=DE，再通過角之間的關系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四邊形AGBD是矩形．