Question

已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．
（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；
（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，
①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．
②若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數量關系式．

Answer 1

分析：（1）先證明四邊形AFCE為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；根據勾股定理即可求得AF的長；
（2）①分情況討論可知，當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可；
②分三種情況討論可知a與b滿足的數量關系式．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足為O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形，
②設菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴AF=5cm．

（2）①顯然當P點在AF上時，Q點在CD上，此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形；
同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上或P在BF，Q在CD時不構成平行四邊形，也不能構成平行四邊形．
因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，
∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC=QA，
∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得t=

4

3

，
∴以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t=

4

3

秒．

②由題意得，四邊形APCQ是平行四邊形時，點P、Q在互相平行的對應邊上．
分三種情況：
i）如圖1，當P點在AF上、Q點在CE上時，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；
ii）如圖2，當P點在BF上、Q點在DE上時，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；
iii）如圖3，當P點在AB上、Q點在CD上時，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．
綜上所述，a與b滿足的數量關系式是a+b=12（ab≠0）．

點評：本題綜合性較強，考查了矩形的性質、菱形的判定與性質、勾股定理、平行四邊形的判定與性質，注意分類思想的應用．