Question

【題目】如圖，AB，BC分別是⊙O的直徑和弦，點D為上一點，弦DE交⊙O于點E，交AB于點F，交BC于點G，過點C的切線交ED的延長線于H，且HC=HG，連接BH，交⊙O于點M，連接MD，ME．

求證：

（1）DE⊥AB；

（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）連接OC，根據等邊對等角和切線的性質，證明∠BFG=∠OCH=90°即可；
（2）連接BE，根據垂徑定理和圓內接四邊形的性質，得出∠HMD=∠BME，再根據三角形的外角的性質證明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．

詳解：證明：（1）連接OC，

∵HC=HG，

∴∠HCG=∠HGC；

∵HC切⊙O于C點，

∴∠OCB+∠HCG=90°；

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC，

∵∠HGC=∠BGF，

∴∠OBC+∠BGF=90°，

∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；

（2）連接BE，

由（1）知DE⊥AB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴，

∴∠BED=∠BME；

∵四邊形BMDE內接于⊙O，

∴∠HMD=∠BED，

∴∠HMD=∠BME；

∵∠BME是△HEM的外角，

∴∠BME=∠MHE+∠MEH，

∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．