Question

【題目】如圖（1），在邊長為4的正方形中，在AO的延長線上取點B，使OB=2OA，連接BC．

（1）點是線段的中點，連結，求線段的長；

（2）點M在線段BC上，且到OB，OC的距離分別為，，當時， 求，的值；

（3）如圖（2），在第（1）、（2）問條件下，延長交直線于點N，動點在上從點向終點勻速運動，同時，動點在延長線上，沿直線向終點M勻速運動，它們同時出發且同時到達終點．當點運動到中點時，點恰好與點重合．

①在運動過程中，設點的運動路程為s，，用含t的代數式表示s．

②過點O作于點，在運動路程中，當與的一邊平行時，求所有滿足條件的的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2），，（3）①，②或.

【解析】

（1）先根據勾股定理求得BC的長，再利用直角三角形的性質即可求得結果；

（2）過點M作MG⊥OB，MH⊥OC，則易證△BMG∽△BCO，根據相似三角形的性質并結合已知即可求出m、n的值；

（3）①由題意知：當點運動到中點時，點恰好與點重合，所以當點從中點運動到點O時，點恰好與從點運動到點M，據此列出比例式即可得出s與t的關系式；

②先確定點Q的出發點K的位置，進而可求出，再建立如圖1所示的平面直角坐標系，顯然在點P的運動過程中，PQ與DE始終不平行；當PQ∥OF時，利用坐標系中兩條直線垂直時滿足，可求出用含t的參數表示的直線PQ的解析式，再與直線BC聯立方程組求出交點Q的坐標，然后利用銳角三角函數的知識求出QN值，即得QK的長，再利用①的結論即得關于t的方程，解方程即可求得t的值；當PQ∥OE時，如圖2，利用坐標系中兩直線平行，同上面的思路求解即可.

解：（1）∵四邊形是正方形，∴OC=AO=4，∠COA=90°，∴∠COB=90°，

∵OB=2OA，∴OB=8，∴，

∵點是線段的中點，∴；

（2）如圖（1），過點M作MG⊥OB，MH⊥OC，則MG=m，MH=n=OG，MG∥OC，

∴△BMG∽△BCO，∴，即，

當，即n=6m時，，解得：m=1，∴n=6；

∴，，

（3）①由題意知：當點運動到中點時，點恰好與點重合，所以當點從中點運動到點O時，點恰好與從點運動到點M.

如圖（1），∵CH=3，HM=6，∴，

于是有：，∴；

②在BC延長線上取點K，使CK=CM=，∵，∴，由題意可知：點Q的出發點就是點K.

建立如圖1所示的平面直角坐標系，

則當PQ∥OF時，PQ⊥DE，

∵D（0，4）、E（8，2），∴直線DE的解析式為：，所以設，將點P（t，0）代入得：，∴，

∵C（4，4）、B（12，0），∴直線BD的解析式為：，

聯立方程組：，解得，

∴點Q（，），

過點Q作QR⊥y軸于點R，則，

在直角△QRN中，，

∴，

由①知，，∴=，解得：；

當PQ∥OE時，如圖2，

∵O（4，0）、E（8，2），∴直線OE的解析式為：，

∴設直線PQ的解析式為：，把P（t，0）代入得：，

∴，

聯立方程組：，解得：，∴Q（，），

過點Q作QR⊥y軸于點R，則，

在直角△QRN中，，

∴，

由①知，，∴=，解得：；

顯然在點P的運動過程中，PQ與DE始終不平行；

綜上，當與的一邊平行時，或.