Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，四邊形BCED為平行四邊形，DE、AC相交于F．
（1）試確定四邊形ADCE的形狀，并說明理由；
（2）若AB=16，AC=12，求四邊形ADCE的面積；
（3）若四邊形ADCE為正方形，△ABC應添加什么條件，并證明你的結論．

Answer 1

證明：（1）∵平行四邊形DBEC，
∴CE∥BD，CE=BD，
∵D為AB中點，
∴AD=BD，
∴CE∥AD，CE=AD，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
又BC∥DE，
∴∠AFD=∠ACB=90°，
∴AC⊥DE，
故四邊形ADCE為菱形，

（2）在Rt△ABC中，∵AB=16，AC=12，
∴BC=4

7

，
∵D為AB中點，F也為AC的中點，
∴DF=2

7

，
∴四邊形ADCE的面積=AC×DF=24

7

，

（3）應添加條件AC=BC．
證明：∵AC=BC，D為AB中點，
∴CD⊥AB（三線合一的性質），即∠ADC=90°．
∵四邊形BCED為平行四邊形，四邊形ADCE為平行四邊形，
∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．
∴四邊形ADCE為正方形．（對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形）