Question

【題目】設a，b是任意兩個不等實數，我們規定：滿足不等式的實數x的所有取值的全體叫做閉區間，表示為對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足：當，我們就稱此函數是閉區間上的“閉函數”．

（1）反比例函數是閉區間上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由；

（2）若一次函數是閉區間上的“閉函數”，求此函數的解析式；

（3）若函數是閉區間上的“閉函數”，求實數a，b的值．

Answer 1

【答案】（1）是，見解析；（2）；（3）a=0，b=1

【解析】

根據反比例函數的單調區間進行判斷；

根據新定義運算法則列出關于系數k、b的方程組或，通過解該方程組即可求得系數k、b的值；

由題意可知二次函數的圖象開口方向向上，最小值是0，且當時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大；分以下三種情況：、、，分別根據閉函數定義列出關于a、b的方程組，求解后依據a、b的范圍取舍即可得．

解：反比例函數是閉區間上的“閉函數”理由如下：

反比例函數在第一象限，y隨x的增大而減小，

當時，；

當時，，

所以，當時，有，符合閉函數的定義，故反比例函數是閉區間上的“閉函數”；

分兩種情況：或．

當時，一次函數的圖象是y隨x的增大而增大，故根據“閉函數”的定義知，

，

解得：．

此函數的解析式是；

當時，一次函數的圖象是y隨x的增大而減小，故根據“閉函數”的定義知，，

解得：．

此函數的解析式是；

該二次函數的圖象開口方向向上，最小值是0，且當時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大；

分以下三種情況討論：

當時，根據閉函數定義知：，

解得：或（舍去）或（舍去）或（舍去）；

當時，此時二次函數的最小值為0，由閉函數定義知，或，

解得：（舍去）或（舍去）；

當時，根據閉函數定義知：，

解得：（舍去）或（舍去）；

綜上，，．