Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)P沿△ABC的邊從A→B→C運(yùn)動(dòng)，以AP為邊作等邊△APQ，且點(diǎn)Q在直線AB下方，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到使△BPQ是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】3或9

【解析】

如圖，連接CP，BQ，由“SAS”可證△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡是A→H→B，分兩種情況討論，即可求解．

解：如圖，連接CP，BQ，

∵△ABC，△APQ是等邊三角形，

∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，

∴△ACP≌△ABQ(SAS)

∴BQ＝CP，

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，且BH＝BC＝6，

∴當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在AH上運(yùn)動(dòng)，

∵△BPQ是等腰三角形，

∴PQ＝PB，

∴AP＝PB＝3＝AQ，

∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為3，

當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在BH上運(yùn)用，

∵△BPQ是等腰三角形，

∴PQ＝PB，

∴BP＝BQ＝3，

∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為3+6＝9，

故答案為：3或9．