Question

四邊形ABCD為矩形，G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E．

（1）如圖1，若AB=BC，BF∥DE，且交AG于點F，求證：AF﹣BF=EF；

（2）如圖2，在（1）條件下，AG=BG，求；

（3）如圖3，連EC，若CG=CD，DE=2，GE=1，則CE=　_________　（直接寫出結果）

Answer 1

　

考點：	四邊形綜合題．
分析：	（1）利用△AED≌△BFA求得AE=BF，再利用線段關系求出AF﹣BF=EF． （2）延長AG與DC交于點F，設BG=t先求出AB，再利用△ABG≌△FCG及直角三角形斜邊上的中點，求出； （3）連接DG，作EM⊥BC于M點，利用直角三角形求出DG，CD的長，再利用ABG∽△DEA，求出AD，再運用△EMG∽△DEA求出EM和MG，再運用勾股定理即可求出CE的長．
解答：	（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，AB=BC， ∴四邊形ABCD為正方形， ∴AD=AB，∠BAD=90°， 又DE⊥AG，BF∥DE， ∴∠AED=∠AFB=90°， ∵∠BAF+∠DAE=90°，∠BAE+∠ABF=90°， ∴∠DAE=∠ABF， 在△AED和△BFA中， ∴△AED≌△BFA（AAS）， ∴AE=BF， ∴AF﹣BF=EF， （2）如圖2，延長AG與DC交于點F， ∵AG=BG，設BG=t，則AG=t， 在Rt△ABG中，AB==2t， ∴G為BC的中點， 在△ABG和△FCG中， ∴△ABG≌△FCG（AAS）， ∴AB=FC=CD， 又∵DE⊥AG， 在Rt△DEF中，C為斜邊DF的中點， ∴EC=CD=CF， ∴== （3）如圖3，連接DG，作EM⊥BC于M點， ∵DE⊥AG，DE=2，GE=1， ∴在RT△DEG中，DG===， ∵CG=CD， ∴在RT△DCG中，∠CDG=∠CGD=45°， ∴CD=CG==， ∵∠BAG+∠GAD=90°，∠EDA+∠GAD=90°， ∴∠BAG=∠EDA， ∵∠ABG=∠DEA=90°， ∴△ABG∽△DEA， ∴=， 設AD=x，則AE==，AG=+1， ∴=， 解得x1=，x2=﹣2（舍去） ∴AE==， 又∵∠BAG=∠MEG， ∴∠EDA=∠MEG， ∴△EMG∽△DEA ∴==，即== 解得EM=，MG=， ∴CM=CG+MG=+=， ∴CE===． 故答案為：．
點評：	本題主要考查了四邊形綜合題，解題的關鍵是正確作出輔助線，運用三角形相似求出線段的長度．此題難度較大，考查了學生計算能力．解題是一定要細心．