Question

【題目】如圖，已知OA是⊙O的半徑，AB為⊙O的弦，過點O作OP⊥OA，交AB的延長線上一點P，OP交⊙O于點D，連接AD，BD，過點B作⊙O的切線BC交OP于點C

(1)求證：∠CBP＝∠ADB；

(2)若O4＝4，AB＝2，求線段BP的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)BP的長為14．

【解析】

(1)連接OB，根據切線的性質得到OB⊥BC，根據等腰三角形的性質得到∠OAB＝∠ABO，得到2∠OAB+∠AOB＝180°，于是得到結論；

(2)延長AO交⊙O于E，連接BE．由圓周角定理得到∠ABE＝90°，根據相似三角形的性質即可得到結論．

(1)證明：連接OB，

∵BC為⊙O的切線，

∴OB⊥BC，

∴∠ABO+∠CBP＝180°﹣∠CBO，

＝180°﹣90°＝90°，

∵OB＝OA，

∴∠OAB＝∠ABO，

∵∠OAB+∠ABO+∠AOB＝180°

∴2∠OAB+∠AOB＝180°，

∵∠AOB＝2∠ADB，

∴∠ABO+∠ADB＝90°，

∴∠CBP＝∠ADB；

(2)解：延長AO交⊙O于E，連接BE．

∵AE為直徑，

∴∠ABE＝90°，

∵OP⊥AO，

∴∠AOP＝90°

在Rt△ABE和Rt△AOP中，

∵∠EAB＝∠PAO，

∴Rt△ABE∽Rt△AOP，

∴，

∵AB＝2，AO＝4，AE＝8，

∴，

解得，AP＝16．

∴BP＝AP﹣AB＝16﹣2＝14．

所以BP的長為14．