Question

【題目】如圖，已知，將一個直角的頂點置于點，并將它繞著點旋轉，兩條直角邊分別交射線于點，交的延長線于點，聯結交于點，設.

（1）當時，求的長；

（2）若，求關于的函數關系式及定義域；

（3）旋轉過程中，若，求此時的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=x+4（0≤x≤）；（3）.

【解析】

（1）首先證明，∠CBE=90°，∠BCE=30°，根據tan30°=，即可解決問題．

（2）如圖2中，作DM⊥BC于M．只要證明△DCM∽△CEB，得，由此即可解決問題．

（3）先證明∠EDA=∠EDC，由EA⊥DA，EC⊥DC，推出EA=EC=x+3，在Rt△BCE中，根據EC2=BE2+BC2，列出方程即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵∠DCE=90°，∠DCF=60°，

∴∠BCE=30°，

∵AB⊥BC，

∴∠CBE=90°，

∴tan30°=，

∴

∴BE=．

（2）如圖2中，作DM⊥BC于M．

∵AG∥BC，AB⊥BC，

∴AG⊥AB，

∴∠A=∠ABM=∠DMB=90°，

∴四邊形ABMD是矩形，

∴BM=AD=y，AB=DM=3，CM=4-y，

∵∠DCM+∠CDM=90°，∠DCM+∠BCE=90°，

∴∠CDM=∠BCE，∵∠DMC=∠CBE，

∴△DCM∽△CEB，

∴

∴，

∴y=x+4

由題意可得 ，即

解得：0≤x≤

∴y=x+4（0≤x≤）

（3）如圖3中，

∵CD=CF，

∴∠CDF=∠CFD，

∵AG∥BC，

∴∠CFD=∠ADF，

∴∠EDA=∠EDC，

∵EA⊥DA，EC⊥DC，

∴EA=EC=x+3，

在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，

∴（x+3）2=x2+42，

∴x=，

∴BE=．