Question

（1）如圖1，矩形ABCD，點C與坐標原點O重合，點A在x軸上，點B坐標為（3，

3

），求經過A、B、C三點拋物線的解析式；
（2）如圖2，拋物線E：y=-

1

2

x2+bx+c經過坐標原點O，其頂點在y軸左側，以O為頂點作矩形OADC，A、C為拋物線E上兩點，若AC∥x軸，AD=2CD，則拋物線的解析式是

 

；
（3）如圖3，點A、B、C分別為拋物線F：y=ax²+bx+c（a＜0）上的點，點B在對稱軸右側，點D在拋物線外，順次連接A、B、C、D四點，所成四邊形為矩形，且AC∥x軸，AD=2CD，求矩形ABCD的周長（用含a的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）首先過點B作BH⊥AO于H，由三角函數的知識，即可求得∠AOB的度數，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得點A的坐標，又因為拋物線過原點，可設拋物線解析式為y=ax²+bx，利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式；
（2）根據矩形與三角函數的知識，即可求得點A與C的坐標分別為（-

1

2

y，y）與（2y，y），又由拋物線過原點，求得c=0，將點A與C的坐標代入解析式即可求得b的值，則可求得拋物線的解析式；
（3）首先作輔助線：過點B作BH⊥AO于H，令頂點為P，作拋物線對稱軸PQ交AC于點M，過B作BN⊥PQ于N，由三角函數的知識求得

AB

BC

=

CD

AD

=

1

2

，則可令AH=t，將BH，CH，AB，BC用t表示出來，代入函數解析式即可求得t的值，則問題得解．

解答：解：（1）過點B作BH⊥AO于H，
則OH=3，BH=

3

，
∴tan∠AOB=

3

3

，
∴∠AOB=30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABO=90°，
∴∠BAO=60°，
∴tan∠BAO=

BH

AH

=

3

，
∴AH=1，
∴A（4，0），
∵拋物線過原點，設拋物線解析式為y=ax²+bx，
則

16a+4b=0 9a+3b= 3

，∴

a=- 3 3 b= 4 3 3

，
∴此拋物線的解析式為：y=-

3

3

x²+

4 3

3

x；

（2）∵四邊形AOCD是矩形，
∴∠AOC=∠D=90°，OC∥AD，
∴∠ACO=∠CAD，
∵AC∥x軸，
∴∠OEC=90°，
∴∠AOE+∠COE=∠COE+∠OCA=90°，
∴∠AOE=∠ACO=∠CAD，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=

CD

AD

，
∵AD=2CD，
∴tan∠ACO=tan∠AOE=tan∠CAD=

1

2

，
∵點A與C的縱坐標相同，
∴可設點A的坐標為（-

1

2

y，y），點C的坐標為（2y，y），
∵拋物線過原點，
∴c=0，
∴拋物線解析式為：y=-

1

2

x²+bx，
將點A與C的坐標代入拋物線的解析式得：

- 1 8 y2- 1 2 by=y -2y2+2by=y

，
解得：b=-

3

2

，
∴此拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²-

3

2

x；

（3）過點B作BH⊥AO于H，令頂點為P，
作拋物線對稱軸PQ交AC于點M，
過B作BN⊥PQ于N，
∴∠BHC=∠BHA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴tan∠ABH=tan∠ACB=

AB

BC

=

CD

AD

=

1

2

，
令AH=t，則BH=2t，CH=4t，
AB=

5

t，BC=2

5

t，
設y=ax²+bx+c=a（x-h）²+k，PN=n，
則A（h+

5

2

t，k-n-2t），B（h+

3

2

t，k-n），
∴

k-n-2t=a(h+ 5 2 t-h)2+k k-n=a(h+ 3 2 t-k)2+k

，
∴t₁=0（舍去），t2=-

1

2a

，
∴AB=-

5

2a

，BC=-

5

a

，
∴矩形ABCD的周長為-

3 5

a

．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，矩形的性質，三角函數的應用以及求四邊形的周長等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意數形結合與方程思想的應用．