Question

已知二次函數的圖象是經過點A（1，0），B（3，0），E（0，6）三點的一條拋物線．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，設拋物線的頂點為C，對稱軸交x軸于點D，在y軸正半軸上有一點P，且以A、O、P為頂點的三角形與△ACD相似，求P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）由拋物線與x軸的兩交點坐標（1，0）（3，0）設出解析式y=a（x-1）（x-3），再把（0，6）代入求解a值即可．
（2）由拋物線的解析式先確定C、D兩點坐標，再由△AOP∽△ACD，求得P點坐標．

解答：解：（1）設拋物線解析式為：y=a（x-1）（x-3），
∵過E（0，6），∴6=a×3，
∴a=2，
∴拋物線的解析式為：y=2x²-8x+6．

（2）y=2x²-8x+6=2（x²-4x+3）-2=2（x-2）²-2，
∴C（2，-2），對稱軸直線x=2，D（2，0）．
△ACD為直角三角形，AD=1，CD=2，OA=1．
當△AOP∽△ACD時，

OA

AD

=

OP

CD

，

1

1

=

OP

2

，∴OP=2．
∵P在y軸正半軸上，∴P（0，2）．
當△PAO∽△ACD時，

OA

CD

=

OP

AD

，

1

2

=

OP

1

，OP=

1

2

，
P在y軸正半軸上，∴P（0，

1

2

）．

點評：本題考查了二次函數解析式的求法以及數形結合的思想．