Question

【題目】如圖，拋物線與兩坐標軸相交于點，是拋物線的頂點， 是線段的中點.

(1)求拋物線的解析式，并寫出點的坐標;

(2) 是拋物線上的動點；

①當時，求的面積的最大值；

②當時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3，D(1,4)； (2) ①當x=2時，S最大值=1；②F（－，－2－２）或（2－，－2+2）

【解析】（1）利用待定系數法可求得拋物線的解析式，然后再配方成頂點式即可得點D的坐標；

（2）①由x＞1，y＞0，可以確定點F是直線BD上方拋物線上的動點，F（x, -x2+2x+3），過點F作FH⊥x軸交直線BD于M，由B、D的坐標易得yBD=-2x+6，繼而得M（x，-2x+6），從而得到FM=-(x-2)2+1，再根據S△BDF=S△DFM+S△BFM，從而可得S△BDF=-(x-2)2+1，根據二次函數的性質即可得；

②分點F在x軸上方拋物線上，點F在x軸下方、y軸左側拋物線上兩種情況進行討論即可得.

（1）拋物線與兩坐標軸相交于點

由題意得：，解得：，

所以拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3，

配方得 y=-(x-1)2+4，∴拋物線頂點D的坐標為（1，4）；

（2） ①∵x＞1，y＞0，

∴點F是直線BD上方拋物線上的動點，

則F（x, -x2+2x+3），

如圖，過點F作FH⊥x軸交直線BD于M，

∵B（3，0）， D（1，4），

∴yBD=-2x+6，

則M（x，-2x+6），

∴FM=-x2+2x+3-(-2x+6)= -x2+4x-3=-(x-2)2+1，

∵S△BDF=S△DFM+S△BFM，

∴S△BDF=FM（x-1）+FM（3-x）=FM(x-1+3-x)=FM =-(x-2)2+1，

∴當x=2時，S最大值＝1；

②如圖，當 FE∥BD，且點F在x軸上方拋物線上時，

設FE的解析式為y=-2x+b，

∵直線FE過點E（1，0），

∴b=2，

yFE=-2x+2，

聯立y=-2x+2與y=-x2+2x+3，

解得F（2－，－2+2）；

如圖，當F在x軸下方、y軸左側拋物線上時，設直線EF與直線BD交于點N，

∵∠AEF=∠NEB，

又∵∠AEF＝∠DBE，

∴∠NEB＝∠DBE，

∴NE=NB，

∴點N的橫坐標為2，

又∵點N在直線yBD=-2x+6上，

∴N（2，2），

∴yＥN＝2x-2，

聯立y=2x-2與y=-x2+2x+3，

解得F（－，－2－2），

綜上所述F（－，－2－2）或（2－，－2+2）.