Question

【題目】已知關于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0．

(1)求證：k取任何實數值，方程總有實數根；

(2)若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長.

Answer 1

【答案】（1）有兩個實數根；（2）直角三角形的周長為

【解析】試題分析：（1）把一元二次方程根的判別式轉化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程總有實數根；

（2）把x=1代入原方程中，解得k=1，從而得到方程的另一根．然后分兩種情況討論即可．

試題解析：（1）證明：∵△=b2﹣4ac=（k+2）2﹣8k=（k﹣2）2≥0，∴無論k取任意實數值，方程總有實數根；

（2）把x=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中，1-（k+2）+2k=0，k=1，

把k=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中，

x=1或x=2，

所以方程的另一根是2．

①當1，2為直角邊時，斜邊為

此時直角三角形周長為

②當2為斜邊，1為直角邊時，另一直角邊為

此時直角三角形周長為

綜上所述，直角三角形的周長為．