Question

【題目】如圖，點E是正方形ABCD的邊BC上一點，連接DE，將DE繞著點E逆時針旋轉90°，得到EG，過點G作GF⊥CB，垂足為F，GH⊥AB，垂足為H，連接DG，交AB于I．

（1）求證：四邊形BFGH是正方形；

（2）求證：ED平分∠CEI；

（3）連接IE，若正方形ABCD的邊長為3，則△BEI的周長為 　　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）6

【解析】

（1）先證根據∠F＝∠GHB＝∠ABF＝90°證得四邊形BFGH為矩形，再證明△DCE≌△EFG進而可證得BF＝FG，根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可得證；

（2）延長EC到點M，使得CM＝AI，連接DM，先證△ADI≌△CDM可得DI＝DM，∠ADI＝∠CDM，進而可證△EDM≌△EDI得∠DEI＝∠DEC，即可得證；

（3）由（2）可知IE＝EM＝EC＋CM＝EC＋AI，則△BEI的周長為BI＋BE＋IE＝BI＋BE＋EC＋AI＝AB＋BC，由此可求得答案．

（1）證明：∵將DE繞著點E逆時針旋轉90°得到EG，

∴DE＝EG，∠DEG＝90°，

∴∠DEC＋∠GEF＝90°，

∵在正方形ABCD中

∴∠C＝∠ABC＝∠ABF＝90°，BC＝CD，

∴∠DEC＋∠CDE＝90°，

∴∠CDE＝∠GEF，

∵GF⊥CB，GH⊥AB，

∴∠F＝∠GHB＝90°，

∴∠F＝∠GHB＝∠ABF＝90°，

∴四邊形BFGH為矩形，

在△DCE與△EFG中，

∴△DCE≌△EFG（AAS）

∴EF＝CD，FG＝CE，

∴EF＝BC，

∴EF－BE＝BC－BE，

即BF＝CE，

∴BF＝FG，

∴矩形BFGH為正方形；

（2）證明：如圖，延長EC到點M，使得CM＝AI，連接DM，

∵在正方形ABCD中

∴∠ADC＝∠A＝∠DCE＝∠DCM＝90°，AD＝CD，

在△ADI與△CDM中，

∴△ADI≌△CDM（SAS）

∴DI＝DM，∠ADI＝∠CDM，

∵DE＝EG，∠DEG＝90°，

∴∠EDG＝∠EGD＝45°，

又∵∠ADC＝90°，

∴∠ADI＋∠CDE＝45°，

∴∠EDM＝∠CDM＋∠CDE＝45°，

∴∠EDM＝∠EDG，

在△EDM與△EDI中，

∴△EDM≌△EDI（SAS）

∴∠DEI＝∠DEC，

∴DE平分∠IEC；

（3）解：由（2）可知△EDM≌△EDI，

∴IE＝EM＝EC＋CM，

又∵CM＝AI，

∴IE＝EC＋CM＝EC＋AI，

∴△BEI的周長為BI＋BE＋IE＝BI＋BE＋EC＋AI＝AB＋BC，

∵正方形ABCD的邊長為3，

∴△BEI的周長為AB＋BC＝6，

故答案為：6．