Question

【題目】如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線x=1為對稱軸的拋物線過A，B，C三點．

（1）求該拋物線的函數解析式；

（2）已知直線的解析式為y=x+m，它與x軸交于點G，在梯形ABCO的一邊上取點P．

①當m=0時，如圖1，點P是拋物線對稱軸與BC的交點，過點P作PH⊥直線于點H，連結OP，試求△OPH的面積；

②當m=﹣3時，過點P分別作x軸、直線的垂線，垂足為點E，F．是否在線段BC存在這樣的點P，使以P，E，F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）① ②存在滿足條件的點P，點P坐標為：（7﹣4，4）

【解析】

試題（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）①如答圖1，作輔助線，利用關系式S△OPH=S△OMH-S△OMP求解；②本問涉及復雜的分類討論，如答圖2所示．由于點P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三種情形，故討論與計算的過程比較復雜，需要耐心細致、考慮全面．

試題解析：（1）由題意得：A（4，0），C（0，4），對稱軸為x=1．

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，則有：

， 解得 ．

∴拋物線的函數解析式為：

（2）①當m=0時，直線：y=x．

∵拋物線對稱軸為x=1，

∴CP=1．

如答圖1，延長HP交y軸于點M，則△OMH、△CMP均為等腰直角三角形．

∴CM=CP=1，

∴OM=OC+CM=5．

S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=（OM）2﹣OMCP=×（×5）2﹣×5×1=﹣=，

∴S△OPH=．

②當m=﹣3時，直線l：y=x﹣3．

設直線與x軸、y軸交于點G、點D，則G（3，0），D（0，﹣3）．

假設存在滿足條件的點P．如答圖2所示，此時PE=4．

若PE=PF，則點P為∠OGD的角平分線與BC的交點，有GE=GF，過點F分別作FH⊥PE于點H，FK⊥x軸于點K，

∵∠OGD=135°，

∴∠EPF=45°，即△PHF為等腰直角三角形，

設GE=GF=t，則GK=FK=EH=t，

∴PH=HF=EK=EG+GK=t+t，

∴PE=PH+EH=t+t+t=4，

解得t=4﹣4，則OE=3﹣t=7﹣4，

∴P2（7﹣4，4）

另外，PE=EF,EF=PF不可能．

綜上所述，存在滿足條件的點P，點P坐標為：（7﹣4，4）．

綜上所述，存在滿足條件的點P，點P坐標為：（7﹣4，4）