Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點，

（1）求證：AC2＝ABAD．

（2）求證：CE∥AD；

（3）若AD＝4，AB＝6，求AF的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）AF＝．

【解析】

（1）先根據角平分線得出∠CAD＝∠CAB，進而判斷出△ADC∽△ACB，即可得出結論；

（2）先利用直角三角形的性質得出CE＝AE，進而得出∠ACE＝∠CAE，從而∠CAD＝∠ACE，即可得出結論；

（3）由（1）的結論求出AC，再求出CE＝3，最后由（2）的結論得出△CFE∽△AFD，即可得出結論．

解：（1）∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD＝∠CAB，

∵∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴AC2＝ADAB；

（2）在Rt△ABC中，∵E為AB的中點，

∴CE＝AE（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半），

∴∠ACE＝∠CAE，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD＝∠CAE，

∴∠CAD＝∠ACE，

∴CE∥AE；

（3）由（1）知，AC2＝ADAB，

∵AD＝4，AB＝6，

∴AC2＝4×6＝24，

∴AC＝2，

在Rt△ABC中，∵E為AB的中點，

∴CE＝AB＝3，

由（2）知，CE∥AD，

∴△CFE∽△AFD，

∴，

∴，

∴AF＝．