Question

【題目】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，連接BE．

填空：① ∠AEB的度數(shù)為_______；②線(xiàn)段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是______．

（2）拓展研究：

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線(xiàn)上，若AE=15，DE=7，求AB的長(zhǎng)度．

（3）探究發(fā)現(xiàn)：

圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線(xiàn)上時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AD與BE相交于點(diǎn)O，試在備用圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫(xiě)出結(jié)果，不必說(shuō)明理由．

【答案】（1）60°．AD=BE；（2）AB=17；（3）∠AOE的度數(shù)是60°或120°．

【解析】試題分析：（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．

（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知∠AOE=60°．

試題解析：（1）①∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°.

∴∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS).

∴∠ADC=∠BEC.

∵△DCE為等邊三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°.

∵點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，

∴∠ADC=120°.

∴∠BEC=120°.

∴∠AEB=∠BEC∠CED=60°.

故答案為：60°.

②∵△ACD≌△BCE，

∴AD=BE.

故答案為：AD=BE.

（2）∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°.

∴∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE(SAS).

∴AD=BE=AE-DE=8，∠ADC=∠BEC，

∵△DCE為等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°.

∵點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，

∴∠ADC=135°.

∴∠BEC=135°.

∴∠AEB=∠BEC∠CED=90°.

∴AB==17；

（3）由（1）知△ACD≌△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，

∵∠CAB=∠CBA=60°，

∴∠OAB+∠OBA=120°

∴∠AOE=180°120°=60°，

同理求得∠AOB=60°，

∴∠AOE=120°，

∴∠AOE的度數(shù)是60°或120°.

點(diǎn)睛：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】如圖，直線(xiàn)MN：y＝－x＋b與x軸交于點(diǎn)M（4，0），與y軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB在x軸上，AB＝2，AD＝1．長(zhǎng)方形ABCD由點(diǎn)A與點(diǎn)O重合的位置開(kāi)始，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)M重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)長(zhǎng)方形運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，長(zhǎng)方形ABCD與△OMN重合部分的面積為S．

（1）求直線(xiàn)MN的解析式；

（2）當(dāng)t＝1時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)C是否在直線(xiàn)MN上，并說(shuō)明理由；

（3）請(qǐng)求出當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D在直線(xiàn)MN上；

（4）直接寫(xiě)出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中S與t的函數(shù)關(guān)系式

Answer 1

【答案】（1）y=-x+4（2）t=1時(shí)，點(diǎn)C（3，1）在直線(xiàn)MN上（3）t=3時(shí)，點(diǎn)D在直線(xiàn)MN上（4）S=

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)（4，0）代入直線(xiàn)即可求得結(jié)果；

（2）先求出當(dāng)=1時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路程，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入直線(xiàn)MN的解析式即可判斷；

（3）先得到運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)，再令，得到此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)即可判斷；

（4）分、、、四種情況分析即可.

（1）∵直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)（4，0）

∴，解得

∴直線(xiàn)的解析式為；

（2）如圖1，當(dāng)=1時(shí)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，

當(dāng)=1時(shí)，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路程為AO=1×1=1，

又∵，

∴此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，1）

把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線(xiàn)MN的解析式

∵

∴點(diǎn)在直線(xiàn)上；

（3）如圖2，點(diǎn)向右平移過(guò)程中縱坐標(biāo)不變

由題意知，運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，1）

令，解得

此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，1）

∴；

即=3時(shí)，點(diǎn)在直線(xiàn)上；

（4）.