Question

【題目】在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．

（1）小明發現DG⊥BE，請你幫他說明理由；

（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）+

【解析】分析：（1）延長EB交DG于點H，先證出Rt△ADG≌Rt△ABE，得出∠AGD=∠AEB，再根據∠HBG=∠EBA，得出∠HGB+∠HBG=90°即可；

（2）過點A作AP⊥BD交BD于點P，根據△DAG≌△BAE得出DG=BE，根據AD=2∠PDA=45°，∠APD=90°，求出AP、DP，利用勾股定理求出PG，再根據DG=DP+PG求出DG，最后根據DG=BE即可得出答案．

詳解：（1）如圖1，延長EB交DG于點H，

∵ABCD和AEFG為正方形，

∴在Rt△ADG和Rt△ABE中，

，

∴Rt△ADG≌Rt△ABE，

∴∠AGD=∠AEB，

∵∠HBG=∠EBA，

∴∠HGB+∠HBG=90°，

∴DG⊥BE；

（2）如圖2，過點A作AP⊥BD交BD于點P，

∵ABCD和AEFG為正方形，

∴在△DAG和△BAE中，

，

∴△DAG≌△BAE（SAS），

∴DG=BE，

∵AD=2∠PDA=45°，∠APD=90°，

∴AP=DP=，

∵AG=2，∴PG==，

∴DG=DP+PG=+，

∵DG=BE，∴BE=+．