Question

【題目】如圖，一塊等腰三角形鋼板的底邊長為，腰長為.

（1）求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑；

（2）用一個圓完整覆蓋這塊鋼板，這個圓的最小半徑是多少？

Answer 1

【答案】（1）cm；（2）40cm.

【解析】

（1）由于三角形ABC是等腰三角形，過A作AD⊥BC于D，那么根據勾股定理得到AD=30，又從這塊鋼板上截得的最大圓就是三角形的內切圓，根據內切圓的圓心的性質知道其圓心在AD上，分別連接AO、BO、CO，然后利用三角形的面積公式即可求解；

（2）由于一個圓完整覆蓋這塊鋼板，那么這個圓是三個三角形的外接圓，設覆蓋圓的半徑為R，根據垂徑定理和勾股定理即可求解

解：（1）如圖，過A作AD⊥BC于D

∵AB=AC=50，BC=80

∴根據等腰三角形三線合一的性質及勾股定理可得

AD=30，BD=CD=40，

設最大圓半徑為r，

則S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC，

∴S△ABC＝×BC×AD＝(AB+BC+CA)r

×80×30＝(50+80+50)r

解得：r=cm ；

（2）設覆蓋圓的半徑為R，圓心為O′，

∵△ABC是等腰三角形，過A作AD⊥BC于D，

∴BD=CD=40，AD= ，

∴O′在AD直線上，連接O′C，

在Rt△O′DC中，

由R2=402+（R-30）2，

∴R=；

若以BD長為半徑為40cm，也可以覆蓋，

∴最小為40cm．