Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，點E為BC的中點，連接DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）求證：4DE2＝CDAC．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）如圖，作輔助線；根據題意結合圖形，證明∠ODE＝90°，即可解決問題；

（2）根據圓周角定理得到∠ADB＝∠BDC＝90°，根據直角三角形的性質得到BC＝2DE，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：連接OD、BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠CDB＝90°；

又∵點E為BC的中點，

∴BE＝DE，

∴∠BDE＝∠EBD；

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA；

又∵∠OAD+∠OBD＝90°，∠EBD+∠OBD＝90°，

∴∠OAD＝∠EBD，即∠ODA＝∠BDE；

∴∠ODE＝∠BDE+∠ODB＝∠ODA+∠ODB＝90°，

又∵點D在⊙O上，

∴DE是圓⊙O的切線；

（2）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∵點E為BC的中點，

∴BC＝2DE，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABC＝∠BDC，

∵∠C＝∠C，

∴△ABC∽△BDC，

∴ ，

∴BC2＝CDAC，

∴4DE2＝CDAC．