Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0），以點(diǎn)P為圓心， m為半徑的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的上方）．點(diǎn)E為平行四邊形DOPE的頂點(diǎn)（如圖）．
（1）寫出點(diǎn)B、E的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）連接DB、BE，設(shè)△BDE的外接圓交y軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q異于點(diǎn)D），連接EQ、BQ，試問線段BQ與線段EQ的長(zhǎng)是否相等？為什么？
（3）連接BC，求∠DBC﹣∠DBE的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①，連接PB，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M．

由題意可知，OM=PM=m，PB= m．

在Rt△PBM中，由勾股定理得：

BM= = =2m，

∴OB=OM+BM=m+2m=3m，

∴B（3m，0）；

連接PD，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，同理可求得DN=2m，OD=3m．

過點(diǎn)D作DR⊥PE于點(diǎn)R，

∵平行四邊形DOPE，∴∠ODE+∠DOP=180°；

由題意可知，∠DOP=45°，∴∠ODE=135°，

∴∠EDR=45°，即△EDR為等腰直角三角形，

∴ER=DR=OM=m，EM=ER+RM=ER+OD=m+3m=4m，

∴E（m，4m）

（2）解：相等．理由如下：

依題意畫出圖形，如圖②所示．

由（1）知，∠ODE=∠BDO+∠BDE=135°，

又OB=OD=3m，即△OBD為等腰直角三角形，∴∠BDO=45°，

∴∠BDE=90°，即△BDE為直角三角形．

由圓周角定理可知，BE為△BDE外接圓的直徑，∴∠BQE=90°．

過點(diǎn)E作EK⊥y軸于點(diǎn)K，則有EK=m，OK=4m．

∵∠BQE=90°，∴∠EQK+∠BQO=90°，又∠BQO+∠QBO=90°，

∴∠EQK=∠QBO．

∴Rt△EQK∽R(shí)t△QBO，

∴ ，即 ，解得OQ=m或OQ=3m，

∵點(diǎn)Q與點(diǎn)D不重合，∴OQ=m，

∴OQ=EK，即相似比為1，此時(shí)兩個(gè)三角形全等，

∴BQ=EQ

（3）解：如圖②所示，連接BC．

由（1）可知，如圖①，CD=2DQ=4m，∴OC=CD﹣OD=m．

由（2）可知，△BDE為直角三角形，△EDK與△BDO均為等腰直角三角形，

∴DE= EK= m，BD= OB=3 m．

在Rt△BDE與Rt△BOC中，OC=m，OB=3m，DE= m，BD=3 m，

∴ ，∴Rt△BDE∽R(shí)t△BOC，

∴∠OBC=∠DBE，

∴∠DBC﹣∠DBE=（∠OBD+∠OBC）﹣∠DBE=∠OBD=45°．

【解析】（1）如圖①所示，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理與勾股定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；同理可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DR⊥PE于點(diǎn)R，則△EDR為等腰直角三角形，從而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）如圖②所示，首先推出△BDE為直角三角形，由圓周角定理可知，BE為△BDE外接圓的直徑，因此∠BQE=90°；然后證明Rt△EQK∽R(shí)t△QBO，通過計(jì)算線段之間的比例關(guān)系，可以得到這兩個(gè)三角形全等，所以BQ=EQ；（3）如圖②所示，本問要點(diǎn)是證明Rt△BDE∽R(shí)t△BOC，得到∠OBC=∠DBE，進(jìn)而計(jì)算可得∠DBC﹣∠DBE=45°．