Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中點，點E是線段AB上一動點，連接EM并延長交線段CD的延長線于點F．

（1）如圖1，求證：AE=DF；
（2）如圖2，若AB=2，過點M作 MG⊥EF交線段BC于點G，判斷△GEF的形狀，并說明理由；
（3）如圖3，若AB= ，過點M作 MG⊥EF交線段BC的延長線于點G．
①直接寫出線段AE長度的取值范圍；
②判斷△GEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．

∵AM=DM，

∴△AEM≌△DFM．

∴AE=DF

（2）

解：答：△GEF是等腰直角三角形．證明：過點G作GH⊥AD于H，如圖2，

∵∠A=∠B=∠AHG=90°，

∴四邊形ABGH是矩形．

∴GH=AB=2．

∵MG⊥EF，

∴∠GME=90°．

∴∠AME+∠GMH=90°．

∵∠AME+∠AEM=90°，

∴∠AEM=∠GMH．

∴△AEM≌△HMG．

∴ME=MG．

∴∠EGM=45°．

由（1）得△AEM≌△DFM，

∴ME=MF．

∵MG⊥EF，

∴GE=GF．

∴∠EGF=2∠EGM=90°．

∴△GEF是等腰直角三角形

（3）

解：①當C、G重合時，如圖4，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∴∠AME+∠AEM=90°．

∵MG⊥EF，

∴∠EMG=90°．

∴∠AME+∠DMC=90°，

∴∠AEM=∠DMC，

∴△AEM∽△DMC

∴ ，

∴ ，

∴AE=

∴ ＜AE≤ ．

②△GEF是等邊三角形．

證明：過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，如圖3，

∵∠A=∠B=∠AHG=90°，

∴四邊形ABGH是矩形．

∴GH=AB= ．

∵MG⊥EF，

∴∠GME=90°．

∴∠AME+∠GMH=90°．

∵∠AME+∠AEM=90°，

∴∠AEM=∠GMH．

又∵∠A=∠GHM=90°，

∴△AEM∽△HMG．

∴ ．在Rt△GME中，

∴tan∠MEG= = ．

∴∠MEG=60°．

由（1）得△AEM≌△DFM．

∴ME=MF．

∵MG⊥EF，

∴GE=GF．

∴△GEF是等邊三角形

【解析】（1）由條件可以得出AM=DM，∠A=∠ADF=90°，∠AME=∠DMF，可以證明△AEM≌△DFM，就可以得出結論．（2）過點G作GH⊥AD于H，通過條件可以證明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，進而得出∠EGM=45°，再由（1）的結論可以得出∠EGF=90°，從而得出結論．（3）①當點G、C重合時利用三角形相似就可以求出AE的值，從而求出AE的取值范圍．②過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，證明△AEM∽△HMG，可以得出 ，從而求出tan∠MEG= ，就可以求出∠MEG=60°，就可以得出結論．