Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D是AB延長線上的一點，AE⊥DC交DC的延長線于E，AC平分∠DAE．

（1）直線DE與⊙O有怎樣的位置關系？為什么？
（2）若AC=，⊙O的半徑為1，求CD的長及由弧BC、線段BD、CD所圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

（1）直線DE與⊙O相切，理由見解析；（2），.

試題分析：（1）連接OC，證明∠OCD=90°，從而判斷CD與⊙O相切．易證∠COD=60°，所以∠OCD=90°，從而得證；
（2）利用“切割法”解答，即S_陰影=S△_OCD-S_扇形OCB．
試題解析：（1）CD是⊙O的切線．理由如下：
∵DC=AC，∠CAB=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°（等邊對等角）．
連接OC．

∴∠COB=60°，即∠COD=60°（在同圓中，同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）．
在△COD中，∠CDO=30°，∠COD=60°，
∴∠DCO=90°．
又∵點C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線，即直線CD與⊙O相切；
（2）連接BC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）．
∵∠CAB=30°，
∴∠COD=2∠CAB=60°，OC=AB=1，
∴在Rt△OCD中，CD=OC×tan60°=，
∴S_陰影=S△_OCD-S_扇形OCB=×1×-= ．
考點: 1.切線的判定；2.扇形面積的計算.