Question

【題目】如圖，ABCD位于直角坐標系中，AB=2，點D（0，1），以點C為頂點的拋物線y=ax2+bx+c經過x軸正半軸上的點A，B，CE⊥x軸于點E．

（1）求點A，B，C的坐標．

（2）將該拋物線向上平移m個單位恰好經過點D，且這時新拋物線交x軸于點M，N．

①求MN的長．

②點P是新拋物線對稱軸上一動點，將線段AP繞點A順時針旋轉60°得AQ，則OQ的最小值為　 　（直接寫出答案即可）

Answer 1

【答案】（1）A（1，0），B（3，0），C（2，1）；（2）①MN＝；②

【解析】

（1）由ABCD可知CD，進而求出E和C點坐標，由AB長從而求出AB點.（2）①由第一問解出拋物線方程，上移m更改拋物線方程，由其過D，進而求出上移后拋物線方程，再求MN.②根據三角函數，求出最小值.

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD=AB=2，

∵CE⊥x軸，

∴OE=2，

∵點E是AB中點，

∴AE=BE=1，

∴OA=2﹣1=1．OB=OE+BE=3，

∴A（1，0），B（3，0），

∵D（0，1），

∴C（2，1）；

（2）由（1）知，拋物線的頂點C（2，1），

∴設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+1，

∵A（1，0）在拋物線上，

∴a（1﹣2）2+1=0，

∴a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+1，

①該拋物線向上平移m個單位恰好經過點D，設平移后的拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+1+m，

∵D（0，1），

∴﹣（﹣2）2+1+m=1，

∴m=4，

∴平移后的拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+5，

令y=0，

∴0=﹣（x﹣2）2+5，

∴x=2±，

∴M（2+，0），N（2﹣，0），

∴MN=2；

②如圖，

在第一象限的拋物線對稱軸上取一點P1，使∠P1AB=60°，

在Rt△AEP1中，AP1=2AE=2，P2E=

∴點Q1和點B重合，

∴Q1（3，0），P1（2，），

在第一象限的拋物線對稱軸上取一點P2，使∠P2AB=30°，

在Rt△AEP2中，P2E=AEtan30°=，

∴點Q2（2，﹣），

∴直線Q1Q2的解析式y=x﹣

在第二象限的拋物線對稱軸上取一點P3，使∠P3AE=60°，

由旋轉知，Q3和點P1關于點A對稱，

∴Q3（0，﹣），

∴點Q3在直線Q1Q2上，

∴點Q的運動軌跡是直線Q1Q2，

∴當OQ⊥Q1Q2時，OD最短，

∵Q1Q3=2

∴OD最小==，

故答案為．