Question

小麗剪了一些直角三角形紙片，她取出其中的幾張進行了如下的操作：

（1）操作一：如上圖，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為DE。
①如果AC=6cm，BC=8cm，試求△ACD的周長。
②如果∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度數。
（2）操作二：如圖，小麗拿出另一張Rt△ABC紙片，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，已知兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，你能求出CD的長嗎？

（3）操作三：如圖，小麗又拿出另一張Rt△ABC紙片，將紙片折疊，折痕CD⊥AB。你能證明：BC²+AD²=AC²+BD² 嗎？

Answer 1

解：（1）①由對稱性可得AD=BD，
∵△ACD的周長=AC+CD+AD
∴△ACD的周長=AC+CD+BD=AC+BC=8+6=14（㎝）；
②設∠CAD=4x ，∠BAD=7x
由題意得方程：7x+7x+4x=90
解之得：x=5
所以∠B=35；
（2）設CD= x，則BD=8-x，DE=x
由題意可得方程
解之得：x=3
所以CD=3㎝；
（3）在Rt△BCD中，由勾股定理可得

在Rt△ACD中，由勾股定理可得
AD²+CD²= AC²
∴BC²+AD²=BD²+CD²+AD²= AC²+BD² ；