Question

28、小麗剪了一些直角三角形紙片，她取出其中的幾張進行了如下的操作：
操作一：如圖1，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為DE．
（1）如果AC=6cm，BC=8cm，試求△ACD的周長．
（2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度數．
操作二：如圖2，小麗拿出另一張Rt△ABC紙片，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，已知兩直角邊AC=4cm，BC=8cm，你能求出CD的長嗎？
操作三：如圖3，小麗又拿出另一張Rt△ABC紙片，將紙片折疊，折痕CD⊥AB．你能證明：BC²+AD²=AC²+BD²嗎？

Answer 1

分析：操作一 利用對稱找準相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后分別利用周長及三角形的內角和可求得答案；
操作二 利用折疊找著AD=BD，設CD=x，表示出BD，在直角三角形ACD中，利用勾股定理可得答案；
操作三 兩次運用勾股定理可答案．

解答：解：操作一：
（1）由對稱性可得AD=BD，∵△ACD的周長=AC+CD+AD∴△ACD的周長=AC+CD+BD=AC+BC=8+6=14（cm）
（2）設∠CAD=4x，∠BAD=7x由題意得方程：7x+7x+4x=90解之得x=5，所以∠B=35
操作二：
設CD=x則BD=8-xDE=x由題意可得方程x²+4²=（8-x）²
解之得x=3
∴CD=3cm
操作三：
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC²=BD²+CD²
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD²+CD²=AC²
∴BC²+AD²=BD²+CD²+AD²=AC²+BD²

點評：本題考查了直角三角形中的勾股定理的應用及圖形的翻折問題；解決翻折問題時一般要找著相等的量，然后結合有關的知識列出方程進行解答．