Question

【題目】商場里某產品每月銷售量y（只）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系，經調查部分數據如表：（已知每只進價為10元，每只利潤=銷售單價-進價）

銷售單價x（元）	21	23	25	…
月銷售額y（只）	29	27	25	…

（1）求出y與x之間的函數表達式；

（2）這產品每月的總利潤為w元，求w關于x的函數表達式，并指出銷售單價為多少元時利潤最大，最大利潤是多少元？

（3）由于該產品市場需求量較大，進價在原有基礎上提高了a元（a＜10），但每月銷售量與銷售價仍滿足上述一次函數關系，此時，隨著銷售量的增大，所得的最大利潤比（2）中的最大利潤減少了144元，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+50；（2）當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤400元；（3）8；

【解析】

待定系數法求函數解析式．

總利潤單件利潤總銷售量，先表示出w，再根據二次函數求最值問題進行配方即可．

含參的二次函數問題，先表示出w，根據最大利潤列方程即可求出a．

解：（1）設y=kx+b（k≠0），

根據題意代入點（21，29），（25，25），

∴

解得，

∴y=-x+50．

（2）依題意得，w=（x-10）（-x+50）=-x2+60x-500=-（x-30）2+400，

∵a=-1＜0，

∴當x=30時，w有最大值400，

即當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤400元．

（3）最新利潤可表示為-x2+60x-500-a（-x+50）=-x2+（60+a）x-500-50a，

∴此時最大利潤為=400-144，

解得a1=8，a2=72，

∵當a=72時，銷量為負數舍去．

∴a=8．