Question

如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以對角線BD為邊作正三角形BDE，過E作DA的延長線的垂線EF，垂足為F．

（1）找出圖中與EF相等的線段，并證明你的結論；

（2）求AF的長．

Answer 1

【考點】正方形的性質；等邊三角形的性質；勾股定理．

【分析】（1）連接AE，首先證明△ABE≌△ADE得到∠BEA=30°，再根據題意∠EAF=∠AED+∠ADE=45°，又知EF⊥AD，故可得AF=EF，

（2）設AF=x，由勾股定理得EF²+FD²=ED²，列出等量關系式，解得x．

【解答】解：（1）AF=EF；

理由如下：連接AE，

∵△DBE是正三角形，

∴EB=ED．

∵AD=AB，AE=AE，

∴△ABE≌△ADE．

∴∠BEA=∠DEA=×60°=30°．

∵∠EDA=∠EDB﹣∠ADB=60°﹣45°=15°，

∴∠EAF=∠AED+∠ADE=45°．

∵EF⊥AD，

∴△EFA是等腰直角三角形．

∴EF=AF．

（2）設AF=x，

∵AD=2，BD==ED，FD=2+x，

在Rt△EFD中，

由勾股定理得EF²+FD²=ED²即x²+（2+x）²=（）²

∴x=﹣1（x=﹣﹣1舍去），∴AF=﹣1．