Question

【題目】如圖，直線 y=﹣x+2 與反比例函數 y=（k≠0）的圖象交于 A（a，3）、B（3，b）兩點，直線 AB 交 y 軸于點 C、交 x 軸于點 D．

(1)請直接寫出 a=_______，b=______，反比例函數的解析式為_______．

(2)在 x 軸上是否存在一點 E，使得∠EBD=∠OAC，若存在請求出點 E 的坐標， 若不存在，請說明理由．

(3)點P 是 x 軸上的動點，點 Q 是平面內的動點，是以 A、B、P、Q 為頂點的四邊形是矩形，若存在請求出點 Q 的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)-1，-1，-3；(2)滿足條件的點 E 坐標為（0，0）或（，0）；(3)滿足條件的點 Q 坐標為（0，﹣4）或（0，4）或（1+，2）或（1﹣，2）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

分兩種情形：①當點 E 與 O 重合時，∠EBD=∠OAC，此時 E（0，0）．②作 BE′∥OA，則∠E′BD=∠OAC，分別求解即可解決問題；

分四種情形畫出圖形，分別求解即可解決問題；

(1)∵A（a，3）、B（3，b）兩點在 y=﹣x+2 上，

∴a=﹣1，b=﹣1，

∴A（﹣1，3），（3，﹣1），

∵A（﹣1，3）在 y=上，

∴k=﹣3．

故答案為﹣1，﹣1，﹣3．

如圖 1 中，連接 OB．

∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），

∴OA=OB= ，

∴∠OAC=∠OBD，

∴當點 E 與 O 重合時，∠EBD=∠OAC，此時 E（0，0）．作 BE′∥OA，則∠E′BD=∠OAC，

由題意 D（2，0），

∴AD= =3，BD= = ，

∵ BE′∥OA，

∴

∴ ，

∴DE′=

∴OE′= ，

∴E′（，0），

綜上所述，滿足條件的點 E 坐標為（0，0）或（，0）．

存在．如圖 2 中：

①當四邊形 AP1Q1B 是矩形時，易知 P1（﹣4，0），

點 B（3，﹣1）向左平移 3 個單位，向下平移 3 個單位得到 Q1（0，﹣4）；

②當四邊形 BP2Q2A 是矩形時，P2（4，0），

點 A（3．﹣1）向右平移一個單位，向上平移一個單位得到 Q2（0，4）．

③當 AB 是矩形的對角線時，設 AB 的中點為 R（1，1），設 P3（m，0），

∵RP=2，

∴（1﹣m）2+12=（2 ）2，

∴ m=1+ 或 1﹣，

∴P3（1﹣，0），P4（1+，2），

∴Q3（1+，2），Q4（1﹣，2），

綜上所述，滿足條件的點 Q 坐標為（0，﹣4）或（0，4）或（1+，2）或（1-，2）．