Question

【題目】某小區業主委員會決定把一塊長50m，寬30m的矩形空地建成健身廣場，設計方案如圖所示，陰影區域為綠化區（四塊綠化區為全等的矩形），空白區域為活動區，且四周的4個出口寬度相同，其寬度不小于14m，不大于26m，設綠化區較長邊為xm，活動區的面積為ym2

（1）直接寫出：①用x的式子表示出口的寬度為　 　；

②y與x的函數關系式及x的取值范圍　 　；

（2）求活動區的面積y的最大面積；

（3）預計活動區造價為50元/m2，綠化區造價為40元/m2，如果業主委員會投資不得超過72000元來參與建造，當x為整數時，共有幾種建造方案？

Answer 1

【答案】（1）①50﹣2x，②y＝﹣4x2+40x+1500（12≤x≤18）；（2）1404m2；（3）共有4種建造方案．

【解析】

（1）①矩形的長減去兩個綠化區較長邊即可求解.

②y=大矩形面積-4個綠化區；由題意得得出x的范圍.

（2）將y＝﹣4x2+40x+1500整理為頂點式﹣4（x﹣5）2+1600，利用拋物線性質即可求解.

（3）設費用為w，由題意得w＝﹣40（x﹣5）2+76000，利用拋物線性質和x的取值范圍結合即可求解.

解：（1）①出口的寬度為：50﹣2x，

②根據題意得，y＝50×30﹣4x（x﹣10），

即y與x的函數關系式及x的取值范圍為：y＝﹣4x2+40x+1500（12≤x≤18）；

故答案為：50﹣2x，y＝﹣4x2+40x+1500（12≤x≤18）；

（2）y＝﹣4x2+40x+1500＝﹣4（x﹣5）2+1600，

∵a＝﹣4＜0，拋物線的開口向下，對稱軸為x＝5，當12≤x≤18時，y隨x的增大而減小，

∴當x＝12時，y最大＝1404，

答：活動區的面積y的最大面積為1404m2；

（3）設費用為w，

由題意得，w＝50（﹣4x2+40x+1500）+40×4x（x﹣10）＝﹣40（x﹣5）2+76000，

∴當w＝72000時，解得：x1＝﹣5，x2＝15，

∵a＝﹣40＜0，

∴當x＝﹣5或x＝15時，w＝72000，

∵12≤x≤18，

∴15≤x≤18，且x為整數，

∴共有4種建造方案．