Question

如圖，已知點從出發，以1個單位長度/秒的速度沿軸向正方向運動，以為頂點作菱形，使點在第一象限內，且；以為圓心，為半徑作圓．設點運動了秒，求：

（1）點的坐標（用含的代數式表示）；

（2）當點在運動過程中，所有使與菱形的邊所在直線相切的的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）過作軸于，

 

，，

，，

點的坐標為．

（2）①當與相切時（如圖1），切點為，此時，

，，

．

②當與，即與軸相切時（如圖2），則切點為，，

過作于，則，

，．

③當與所在直線相切時（如圖3），設切點為，交于，

則，，

．

過作軸于，則，

，

化簡，得，

解得，

，

．

所求的值是，和．

【解析】（1）過作軸于,利用三角函數求得OD、DC的長，從而求得點的坐標

⊙P與菱形OABC的邊所在直線相切，則可與OC相切；或與OA相切；或與AB相切，應分三種情況探討：①當圓P與OC相切時，如圖1所示，由切線的性質得到PC垂直于OC，再由OA=+t，根據菱形的邊長相等得到OC=1+t，由∠AOC的度數求出∠POC為30°，在直角三角形POC中，利用銳角三角函數定義表示出cos30°=oc/op，表示出OC，

等于1+t列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②當圓P與OA，即與x軸相切時，過P作PE垂直于OC，又PC=PO，利用三線合一得到E為OC的中點，OE為OC的一半，而OE=OPcos30°，列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③當圓P與AB所在的直線相切時，設切點為F，PF與OC交于點G，由切線的性質得到PF垂直于AB，則PF垂直于OC，由CD=FG，在直角三角形OCD中，利用銳角三角函數定義由OC表示出CD，即為FG，在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG，用PG+GF表示出PF，根據PF=PC，表示出PC，過C作CH垂直于y軸，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，綜上，得到所有滿足題意的t的值．