Question

如圖，已知點A從（1，0）出發，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向正方向運動，以O，A為頂點作菱形OABC，使點B，C在第一象限內，且∠AOC=60°；以P（0，3）為圓心，PC為半徑作圓．設點A運動了t秒，求：
（1）點C的坐標（用含t的代數式表示）；
（2）當點A在運動過程中，所有使⊙P與菱形OABC的邊所在直線相切的t的值．

Answer 1

分析：（1）過C向x軸引垂線，利用三角函數求出相應的橫縱坐標；
（2）⊙P與菱形OABC的邊所在直線相切，則可與OC相切；或與OA相切；或與AB相切，應分情況探討．

解答：解：（1）過C作CD⊥x軸于D．
∵OA=1+t，
∴OC=1+t，
∴OD=OCcos60°=

1+t

2

，DC=OCsin60°=

3 (1+t)

2

．
∴點C的坐標為(

1+t

2

，

3 (1+t)

2

)．

（2）①當⊙P與OC相切時（如圖1），切點為C，此時PC⊥OC．
∴OC=OPcos30°，
∴1+t=3•

3

2

，
∴t=

3 3

2

-1．

②當⊙P與OA，即與x軸相切時（如圖2），則切點為O，PC=OP．
過P作PE⊥OC于E，則OE=

1

2

OC．
∴

1+t

2

=OPcos30°=

3 3

2

，
∴t=3

3

-1．

③當⊙P與AB所在直線相切時（如圖3），設切點為F，PF交OC于G，則PF⊥OC．
∴FG=CD=

3 (1+t)

2

，
∴PC=PF=OPsin30°+

3 (1+t)

2

．
過C作CH⊥y軸于H，則PH²+CH²=PC²．
∴(

1+t

2

)2+(

3 (1+t)

2

-3)2=(

3

2

+

3 (1+t)

2

)2，
化簡，得（t+1）²-18

3

（t+1）+27=0，
解得t+1=9

3

±6

6

．
∵t=9

3

-6

6

-1＜0，
∴t=9

3

+6

6

-1．
∴所求t的值是

3 3

2

-1，3

3

-1和9

3

+6

6

-1．

點評：四邊形所在的直線和圓相切，那么與各邊都有可能相切；
注意特殊三角函數以及勾股定理的應用．