Question

如圖，直線y=-

3

3

 x+1和x軸、y軸分別交于點A、點B，以線段AB為邊在第一象限作等邊三角形ABC，且在第一象限內有點P（m，

1

2

），使△ABP的面積與△ABC的面積相等，求m的值．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，令直線方程中x與y分別為0，求出相應的y與x的值，確定出點A與B的坐標，進而求出AB的長即為等邊三角形的邊長，求出等邊三角形的高即為點C到直線AB的距離，由△ABP和△ABC的面積相等，得到點C與點P到直線AB的距離相等，利用點到直線的距離公式表示出點P到直線AB的距離d，讓d等于求出的高列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：
由直線 y=-

3

3

x+1，令x=0，解得y=1，
故點B（0，1），
令y=0，解得x=

3

，
故點A（

3

，0），
∵△ABC為等邊三角形，且OA=

3

，OB=1，
根據勾股定理得：AB=2，即等邊三角形的邊長為2，
故過C作AB邊上的高為2×

3

2

=

3

，即點C到直線AB的距離為

3

，
由題意△ABP和△ABC的面積相等，
則P到直線AB的距離d=

3

2

|-

3

3

m+

1

2

|=

3

，
即-

3

3

m+

1

2

=2或-

3

3

m+

1

2

=-2，
解得：m=-

3 3

2

（舍去）或m=

5 3

2

．
則m的值為

5 3

2

．

點評：此題考查了一次函數的性質，等邊三角形的性質以及點到直線的距離公式．學生做題時注意采用數形結合的思想及轉化的思想的運用，在求出m的值后要根據點P在第一象限舍去不合題意的解．