Question

【題目】操作與證明：

如圖1，把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點M，EF的中點N，連接MD、MN．

（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；

猜想與發現：

（2）在（1）的條件下，請判斷線段MD與MN的關系，得出結論；

結論：DM、MN的關系是：　 　；

拓展與探究：

（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點C旋轉180°，其他條件不變，則（2）中的結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DM＝MN，DM⊥MN；（3）成立，理由見解析.

【解析】

（1）先證明△ABE≌△ADF，再利用全等三角形的性質即可證明△AEF是等腰三角形；

（2）利用三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線定理可證明DM=MN，再證明∠DMN=∠DAB=90°，即可解決問題；

（3）連接AE，交DM于O，交CD于G，同（2）證明方法類似，可證明DM=MN，再證明∠DOG＝∠ECG＝90°，即可得出結論.

（1）證明：如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，

∵△EFC是等腰直角三角形，

∴CE＝CF，

∴BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE＝AF，

∴△AEF是等腰三角形；

（2）解：結論：DM＝MN，DM⊥MN，

證明：∵在Rt△ADF中， M是AF的中點，

∴DM=AF，

∵M是AF的中點，N是EF的中點，

∴MN=AE，MN∥AE，

∵AE＝AF，

∴MN＝DM，

∵∠ADF＝90°，AM＝MF，

∴MD＝MA＝MF，

∴∠MAD＝∠ADM，

∴∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM，

∵△ABE≌△ADF，

∴∠BAE＝∠DAF，

∴∠DAB=∠EAF+2∠DAM＝90°，

∵MN∥AE，

∴∠NMF＝∠EAF，

∴∠DMN=∠NMF+∠DMF＝∠EAF+2∠DAM＝∠DAB=90°，

∴DM⊥MN，

∴MN＝DM，MN⊥DM，

故答案為MN＝DM，MN⊥DM；

（3）解：結論仍然成立．

理由：如圖，連接AE，設AE交DM于O，交CD于G，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，

又∵BC+CE=CD+CF,即BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB，

∵在Rt△ADF中，M是AF的中點，

∴DM=AF，

∵M是AF的中點，N是EF的中點，

∴MN=AE，MN∥AE，

∴MN＝DM，

∵∠ADF＝90°，AM＝MF，

∴MD＝MA＝MF，

∴∠MDF＝∠MFD＝∠AEB，

∵∠DGO＝∠CGE，∠ODG＝∠CEG，

∴∠DOG＝∠ECG＝90°，

∵NM∥AE，

∴∠DOG＝∠DMN＝90°，

∴MN⊥DM，MN＝DM．